الدرس الأول: المبادئ الأساسية للميكانيك الكلاسيكي

قبل الغوص في الحركات المعقدة، يجب أن نتسلح ببعض المفاهيم الأساسية التي سنبني عليها كل ما هو قادم.

1. المرجع (الإطار المرجعي)

لدراسة أي حركة، نحتاج أولاً إلى “مرجع” ننسب إليه هذه الحركة. تخيل أنك في قطار متحرك، بالنسبة لك، أنت جالس وفي حالة سكون. لكن بالنسبة لشخص يقف على الرصيف، فأنت تتحرك. إذاً، مفهوم الحركة والسكون نسبي ويتعلق بالمرجع الذي نختاره.

في هذه الوحدة، سنتعامل مع ثلاثة أنواع رئيسية من المراجع التي نعتبرها عطالية (أو غاليليلة)، وهي التي يتحقق فيها مبدأ العطالة (القانون الأول لنيوتن):

• المرجع الهيليومركزي (المركزي الشمسي): مركزه هو مركز الشمس، ومحاوره الثلاثة موجهة نحو ثلاثة نجوم بعيدة نعتبرها ثابتة. يستخدم لدراسة حركة الكواكب والمذنبات حول الشمس.
• المرجع الجيومركزي (المركزي الأرضي): مركزه هو مركز الأرض، ومحاوره الثلاثة موازية لمحاور المرجع الهيليومركزي. يستخدم لدراسة حركة الأقمار الاصطناعية حول الأرض.
• المرجع السطحي الأرضي: مرتبط بسطح الأرض (مثل مختبر أو طريق). نستخدمه لدراسة الحركات التي تحدث على سطح الأرض ولمدة زمنية قصيرة (مثل حركة سيارة، سقوط جسم، أو حركة قذيفة).

2. شعاع الموضع، السرعة، والتسارع

لوصف حركة نقطة مادية (جسم نعتبر أبعاده مهملة) في معلم ديكارتي $(O, \vec{i}, \vec{j})$, نستخدم:

• شعاع الموضع $(\vec{r})$: هو الشعاع الذي يصل بين مبدأ المعلم وموضع المتحرك في كل لحظة. $\vec{r}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}$
• شعاع السرعة اللحظية $(\vec{v})$: هو مشتق شعاع الموضع بالنسبة للزمن. يمثل سرعة المتحرك واتجاه حركته في تلك اللحظة. يكون دائماً مماسي للمسار. $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\vec{i} + \frac{dy}{dt}\vec{j} = v_x(t)\vec{i} + v_y(t)\vec{j}$
• شعاع التسارع $(\vec{a})$: هو مشتق شعاع السرعة بالنسبة للزمن. يمثل كيفية تغير شعاع السرعة (قيمةً أو اتجاهاً). $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{dv_x}{dt}\vec{i} + \frac{dv_y}{dt}\vec{j} = a_x(t)\vec{i} + a_y(t)\vec{j}$

3. قوانين نيوتن الثلاثة

هي الركيزة الأساسية لكل هذه الوحدة.

• القانون الأول (مبدأ العطالة):

  في مرجع عطالي، إذا كان المجموع الشعاعي للقوى الخارجية المؤثرة على جملة مادية معدوماً ($\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$)، فإن مركز عطالتها إما أن يكون ساكناً أو يتحرك حركة مستقيمة منتظمة.

• القانون الثاني (المبدأ الأساسي للتحريك):

  في مرجع عطالي، المجموع الشعاعي للقوى الخارجية المؤثرة على جملة مادية يساوي جداء كتلتها في شعاع تسارع مركز عطالتها. $\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}_G$ هذا هو القانون الذي سنستخدمه في معظم التمارين لإيجاد “المعادلات التفاضلية للحركة”.

• القانون الثالث (مبدأ الأفعال المتبادلة):

  إذا أثرت جملة A على جملة B بقوة $\vec{F}_{A/B}$، فإن الجملة B تؤثر على الجملة A بقوة $\vec{F}_{B/A}$ بحيث: $\vec{F}_{A/B} = - \vec{F}_{B/A}$ القوتان لهما نفس الحامل، نفس الشدة، ومتعاكستان في الاتجاه.

الدرس الثاني: حركة الكواكب والأقمار الاصطناعية

تعتبر حركة الكواكب حول الشمس والأقمار حول الأرض من أروع تطبيقات قوانين نيوتن.

1. قوانين كبلر

قبل نيوتن، وضع الفلكي يوهانس كبلر ثلاثة قوانين تجريبية تصف حركة الكواكب:

• قانون المسارات (كبلر الأول): تتحرك الكواكب وفق مسارات إهليجية (بيضاوية) تمثل الشمس إحدى بؤرتيها. (في دراستنا الثانوية، نقرّب هذه المسارات إلى دائرية لتسهيل الحسابات).
• قانون المساحات (كبلر الثاني): المستقيم الرابط بين مركز الشمس ومركز الكوكب يمسح مساحات متساوية خلال فترات زمنية متساوية. هذا يعني أن سرعة الكوكب تزداد كلما اقترب من الشمس وتقل كلما ابتعد عنها.
• قانون الأدوار (كبلر الثالث): يتناسب مربع دور حركة الكوكب (T) طرداً مع مكعب البعد المتوسط بينه وبين الشمس (a). $\frac{T^2}{a^3} = k$ حيث $k$ ثابت لا يتعلق بالكوكب، بل بكتلة الشمس فقط.

2. تطبيق القانون الثاني لنيوتن

لندرس حركة قمر اصطناعي كتلته $m$ يدور حول الأرض التي كتلتها $M_T$ على ارتفاع $h$ من سطحها، في مسار دائري نصف قطره $r = R_T + h$. القوة الوحيدة المؤثرة على القمر هي قوة الجذب العام للأرض: $\vec{F}_{T/S} = G \frac{M_T \cdot m}{r^2} \vec{u}$ بتطبيق القانون الثاني لنيوتن في المرجع الجيومركزي: $\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a} \implies \vec{F}_{T/S} = m \cdot \vec{a}$ الحركة دائرية منتظمة، والتسارع فيها ناظمي (موجّه نحو المركز): $a = a_n = \frac{v^2}{r}$. بالإسقاط على المحور الناظمي: $G \frac{M_T \cdot m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$ من هذه العلاقة الأساسية، يمكننا استنتاج:

• سرعة القمر: $v = \sqrt{G \frac{M_T}{r}}$ نلاحظ أن السرعة لا تتعلق بكتلة القمر، بل فقط بكتلة الأرض والارتفاع.
• دور القمر (T): هو الزمن اللازم لإنجاز دورة كاملة $T = \frac{2\pi r}{v}$. بتعويض عبارة السرعة نجد: $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_T}} \implies T^2 = \frac{4\pi^2}{G M_T} r^3$ وهذه هي عبارة قانون كبلر الثالث.

الدرس الثالث: السقوط الشاقولي لجسم صلب في الهواء

عندما يسقط جسم في الهواء (مثل كرة أو حبة برد)، فإنه لا يخضع لثقله فقط، بل لتأثير الهواء أيضاً.

1. القوى المؤثرة

• الثقل $(\vec{P})$: شاقولي نحو الأسفل دائماً. $P = m \cdot g$.
• دافعة أرخميدس $(\vec{\Pi})$: شاقولية نحو الأعلى. شدتها تساوي ثقل حجم الهواء المزاح. $\Pi = \rho_{air} \cdot V_{corps} \cdot g$ حيث $\rho_{air}$ هي الكتلة الحجمية للهواء و $V_{corps}$ هو حجم الجسم. غالباً ما تكون مهملة أمام الثقل إلا إذا ذكر غير ذلك.
• قوة الاحتكاك مع الهواء $(\vec{f})$: تعاكس دائماً اتجاه الحركة. تتعلق سرعتها بالجسم.
  • في حالة السرعات الصغيرة: $f = k \cdot v$
  • في حالة السرعات الكبيرة: $f = k \cdot v^2$

2. المعادلة التفاضلية للحركة

لندرس سقوط جسم شاقولياً نحو الأسفل. نختار معلماً $(\vec{k})$ موجهاً نحو الأسفل. بتطبيق القانون الثاني لنيوتن: $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a} \implies \vec{P} + \vec{\Pi} + \vec{f} = m \vec{a}$ بالإسقاط على المحور $(\vec{k})$: $P - \Pi - f = m \cdot a$ بما أن $a = \frac{dv}{dt}$، وفي حالة السرعات الصغيرة ($f = k \cdot v$): $m g - \rho_{air} V g - k v = m \frac{dv}{dt}$ $\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m} v = g(1 - \frac{\rho_{air} V}{m})$ هذه هي المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى التي تصف تطور سرعة الجسم بدلالة الزمن. حلها من الشكل: $v(t) = v_L (1 - e^{-t/\tau})$ حيث $v_L$ هي السرعة الحدية و $\tau$ هو ثابت الزمن.

3. النظامان الانتقالي والدائم

• النظام الانتقالي: في البداية، تكون السرعة متزايدة والتسارع متناقص.
• النظام الدائم: عندما تصبح سرعة الجسم ثابتة، وتساوي السرعة الحدية ($v = v_L$). في هذه الحالة، يصبح التسارع معدوماً ($a=0$) ومجموع القوى معدوم.

4. السقوط الحر

هو حالة مثالية من السقوط حيث نهمل كل قوى تأثير الهواء (دافعة أرخميدس والاحتكاك). الجسم يخضع لثقله فقط. $\vec{P} = m \vec{a} \implies m \vec{g} = m \vec{a} \implies \vec{a} = \vec{g}$ التسارع يكون ثابتاً ويساوي تسارع الجاذبية الأرضية، والحركة تكون مستقيمة متغيرة بانتظام.

الدرس الرابع: حركة قذيفة في حقل الثقالة

القذيفة هي كل جسم يطلق في الهواء بسرعة ابتدائية $\vec{v}_0$ وبزاوية $\alpha$ مع الأفق، ولا يخضع بعد ذلك إلا لثقله (نهمل تأثير الهواء).

1. الشروط الابتدائية

• الموضع الابتدائي (غالباً $t=0$): $x_0 = 0, y_0 = 0$.
• السرعة الابتدائية: لها مركبتان
  • $v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$
  • $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

2. المعادلات الزمنية للحركة

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن: $\sum \vec{F}_{ext} = \vec{P} = m\vec{a} \implies \vec{a} = \vec{g}$. شعاع التسارع هو $\vec{a}(a_x, a_y)$. بالاسقاط على المحاور:

• على المحور $Ox$: $a_x = 0$.
• على المحور $Oy$: $a_y = -g$.

بالتكامل بالنسبة للزمن، نجد معادلات السرعة:

• $v_x(t) = C_1$. من الشروط الابتدائية $v_x(0) = v_0 \cos(\alpha)$، إذن $v_x(t) = v_0 \cos(\alpha)$.
• $v_y(t) = -gt + C_2$. من الشروط الابتدائية $v_y(0) = v_0 \sin(\alpha)$، إذن $v_y(t) = -gt + v_0 \sin(\alpha)$.

بالتكامل مرة أخرى، نجد المعادلات الزمنية للموضع (معادلات الحركة):

• $x(t) = (v_0 \cos(\alpha)) t$
• $y(t) = -\frac{1}{2} g t^2 + (v_0 \sin(\alpha)) t$

3. معادلة المسار

نحصل عليها بحذف الزمن $t$ من معادلتي الموضع. من معادلة $x(t)$, لدينا $t = \frac{x}{v_0 \cos(\alpha)}$. نعوضها في معادلة $y(t)$: $y(x) = -\frac{g}{2(v_0 \cos(\alpha))^2} x^2 + (\tan(\alpha)) x$ وهي معادلة من الدرجة الثانية، تمثل قطع مكافئ.

4. الذروة والمدى

• الذروة (Flèche): هي أقصى ارتفاع تبلغه القذيفة. عندها، تنعدم المركبة الشاقولية للسرعة $v_y = 0$.
• المدى (Portée): هو أقصى مسافة أفقية تقطعها القذيفة. عندها، تعود القذيفة إلى الارتفاع الذي انطلقت منه، أي $y=0$.

الدرس الخامس: حركة جسم على مستو مائل أو أفقي

تستخدم هذه الدراسة كمدخل مهم لفهم تأثير قوى الاحتكاك وكيفية تطبيق القانون الثاني لنيوتن في وضعيات مختلفة.

1. الحركة على مستو أفقي

لندرس حركة جسم كتلته $m$ يجر على مستو أفقي بقوة $\vec{F}$ تصنع زاوية $\beta$ مع الأفق، ويخضع لقوة احتكاك $\vec{f}$ معاكسة للحركة.

القوى المؤثرة هي: الثقل $\vec{P}$, رد فعل السطح $\vec{R}$, قوة الجر $\vec{F}$, وقوة الاحتكاك $\vec{f}$. نطبق القانون الثاني لنيوتن: $\vec{P} + \vec{R} + \vec{F} + \vec{f} = m\vec{a}$. بالإسقاط:

• على محور الحركة $Ox$: $F \cos(\beta) - f = m a_x$
• على المحور الشاقولي $Oy$: $R + F \sin(\beta) - P = m a_y = 0$ (لأن الجسم لا يتحرك شاقولياً).

من هاتين المعادلتين يمكن تحديد تسارع الجسم أو أي مجهول آخر.

2. الحركة على مستو مائل

لندرس حركة جسم ينزلق على مستو مائل بزاوية $\theta$ عن الأفق. القوى المؤثرة: الثقل $\vec{P}$, رد فعل السطح $\vec{R}$ (عمودي على السطح)، وقوة الاحتكاك $\vec{f}$ (موازية للسطح ومعاكسة للحركة).

من الأفضل دائماً اختيار معلم مرتبط بالمستوي المائل. نسقط الثقل على محوري هذا المعلم:

• $P_x = P \sin(\theta) = mg \sin(\theta)$ (المركبة الموازية للسطح)
• $P_y = P \cos(\theta) = mg \cos(\theta)$ (المركبة العمودية على السطح)

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن والإسقاط على محور الحركة الموازي للسطح: $P_x - f = m a \implies mg \sin(\theta) - f = ma$ إذا كانت الحركة بدون احتكاك ($f=0$), فإن التسارع يصبح $a = g \sin(\theta)$, وهو ثابت.